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¿Es esta la tercera etapa del

Triángulo de Sierpinski?

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

"Todo este conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot . A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea."

El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):

Tres primeras etapas de la construcción del Triángulo de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski posee algunas propiedades importantes. Se trata de un conjunto formado por infinitos puntos (conjunto infinito no numerable). No existe ningún rectángulo abierto ("abierto" = no se consideran sus bordes), por pequeño que sea, que contenga únicamente puntos del triángulo de Sierpinski.

El conjunto de Sierpinski, junto con la aparición de otros conjuntos geométricos "patológicos" como el conjunto de Cantor, la curva de Peano, la curva de Hilbert, la curva de Koch obligaron a los matemáticos de principios de siglo a desarrollar conceptos nuevos y líneas nuevas de investigación (dimensión y medida de una curva o de un conjunto, autosemejanza, recursividad, sistemas de funciones iteradas, atractores, caos).

Todo este conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot . A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea.

Actividades Didácticas:

1. ¿Cuántos triángulos se retiran en cada etapa? (En la primera: 1,.en la segunda 3,...).

2.Calcula el área de triángulos que vamos retirando en cada etapa.

3. ¿Cuál es el área del triángulo de Sierpinski?

4. Juego del caos: En una cartulina grande marca los vértices de un triángulo equilátero y numéralos (1, 2, 3).

Elige un punto arbitrario del plano como punto inicial. Tira un dado y si obtienes un 1 ó un 2 dibuja el punto medio del segmento determinado por el punto inicial y el vértice 1.

Si obtienes con el dado un 3 ó un 4 haz lo mismo pero utilizando el vértice 2. Si obtienes un 5 ó un 6 lo mismo pero con el vértice 3.

Repite la experiencia con el punto que has obtenido en la primera tirada del dado y continúa aplicando el mismo proceso a los puntos que vayas obteniendo.

Cuando tengas un número grande de puntos observa el dibujo.

Al conjunto de puntos obtenido se le llama órbita del punto inicial.¿A qué figura se aproxima el dibujo?

El objeto ideal al que se aproxima el dibujo se llama atractor del experimento.

La primera vez que leí algo sobre este experimento lo hice en una excelente página del conocido profesor Robert Devaney de la Universidad de Boston. Allí planteaba una serie de actividades didácticas dirigidas a profesores, y, entre otras cosas, sugería realizar la práctica por grupos, dibujando las órbitas sobre transparencias que contuvieran el mismo triángulo inicial, para luego al final superponerlas , proyectar con un retroproyector y observar el resultado.

Tomado de la página Web:

http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.
santillana/matem/tripasca.htm#ind

Enlaces Interesantes:

· PáginadelprofesorRobertDevaney

(Universidad de Boston)

· Pirámide de Sierpinski:

construccióndeuna pirámidedeSierpinski

en un Instituto de EEUU (actividad para la clase de Matemáticas)

* ©2001-2006 Promotoría Social, Personas con Discapacidad, A. C.

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